Baza wiedzy · Liczby i algebra
Algebra, równania i nierówności
Przekształcanie wyrażeń, równania liniowe i kwadratowe, parametry.
Podstawówka
Równania liniowe
Po obu stronach równania wykonuj to samo odwracalne działanie. Redukuj wyrazy podobne, czyli składniki zawierające tę samą niewiadomą w tej samej potędze. Rozwiązanie sprawdź, podstawiając je do równania wyjściowego.
Przykład krok po kroku
Rozwiąż 2(x + 3) = 14.
- Usuń nawias: 2x + 6 = 14.
- Odejmij 6: 2x = 8, więc x = 4.
- Sprawdzenie: 2 · (4 + 3) = 14.
Na co uważać: Mnożąc nawias przez liczbę, pomnóż każdy jego składnik. −2(x − 3) = −2x + 6.
Matura podstawowa
Równania i nierówności kwadratowe
Dla ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, oblicz Δ = b² − 4ac. Gdy Δ > 0, x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a). Gdy Δ = 0, jest jeden pierwiastek; gdy Δ < 0, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Znak trójmianu odczytaj z paraboli.
Przykład krok po kroku
Rozwiąż x² − 5x + 6 ≤ 0.
- x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
- Miejsca zerowe to 2 i 3, ramiona paraboli są skierowane w górę.
- Wyrażenie jest niedodatnie dla x ∈ [2, 3].
Na co uważać: Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną odwróć jej znak.
Matura rozszerzona
Parametr i liczba rozwiązań
Najpierw sprawdź, czy współczynnik przy najwyższej potędze nie znika. Przy równaniu kwadratowym dwa różne pierwiastki rzeczywiste wymagają Δ > 0. Warunki dotyczące znaków pierwiastków można połączyć ze wzorami Viète’a: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a.
Przykład krok po kroku
Dla jakich m równanie x² − 2mx + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
- Δ = (−2m)² − 4 = 4m² − 4
- Δ > 0 oznacza m² > 1.
- m < −1 lub m > 1
Na co uważać: Warunek Δ ≥ 0 dopuszcza też podwójny pierwiastek, więc nie gwarantuje dwóch różnych rozwiązań.
Poćwicz z narzędziem
Bank zadań ósmoklasisty dotyczy podstawówki. Zadania maturalne z rozwiązaniami znajdziesz w informatorach poniżej.
Materiały do dalszej nauki
Wyjaśnienia i przykłady w tej bazie są autorskie. Oficjalne wymagania, przykłady zadań i zasady oceniania sprawdzisz w informatorach CKE: