Baza wiedzy · Funkcje i ciągi
Ciągi
Ciąg arytmetyczny, geometryczny i granica.
Matura podstawowa
Wzór na wyraz i sumę
W ciągu arytmetycznym różnica r jest stała: aₙ = a₁ + (n − 1)r oraz Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. W ciągu geometrycznym aₙ = a₁qⁿ⁻¹. Dla q ≠ 1 suma Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q).
Przykład krok po kroku
Ciąg arytmetyczny ma a₁ = 3 i r = 2. Oblicz a₅ i S₅.
- a₅ = 3 + 4 · 2 = 11
- S₅ = 5 · (3 + 11)/2
- S₅ = 35
Na co uważać: Między pierwszym a n-tym wyrazem są n − 1 kroków, a nie n.
Matura rozszerzona
Granice i szereg geometryczny
Gdy |q| < 1, potęgi qⁿ dążą do 0. Wtedy nieskończony szereg geometryczny ma sumę S = a₁/(1 − q). Dla ilorazów wielomianów w n podziel licznik i mianownik przez najwyższą występującą potęgę n.
Przykład krok po kroku
Oblicz granicę (3n + 1)/(2n − 4), gdy n → ∞.
- Podziel licznik i mianownik przez n.
- Otrzymasz (3 + 1/n)/(2 − 4/n).
- 1/n i 4/n dążą do 0, więc granica wynosi 3/2.
Na co uważać: Wzoru na sumę nieskończonego szeregu nie stosuj dla |q| ≥ 1.
Poćwicz z narzędziem
Bank zadań ósmoklasisty dotyczy podstawówki. Zadania maturalne z rozwiązaniami znajdziesz w informatorach poniżej.
Materiały do dalszej nauki
Wyjaśnienia i przykłady w tej bazie są autorskie. Oficjalne wymagania, przykłady zadań i zasady oceniania sprawdzisz w informatorach CKE: