Baza wiedzy · Funkcje i ciągi
Pochodne i optymalizacja
Pochodna, styczna i maksimum z uwzględnieniem dziedziny.
Matura rozszerzona
Pochodna i styczna
Pochodna f′(x) opisuje tempo zmiany funkcji i współczynnik kierunkowy stycznej. Dla dodatniej całkowitej potęgi n: (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹. Pochodna stałej to 0. Styczna w punkcie x₀ ma równanie y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
Przykład krok po kroku
Wyznacz styczną do f(x) = x² w punkcie x₀ = 3.
- f′(x) = 2x, więc f′(3) = 6.
- f(3) = 9
- y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9
Na co uważać: Samo f′(x₀) daje nachylenie stycznej, a nie całe jej równanie.
Matura rozszerzona
Optymalizacja z warunkami
Zbuduj funkcję jednej zmiennej i ustal jej dziedzinę z warunków geometrycznych. Znajdź punkty krytyczne. Porównaj wartości w kandydatach i na końcach przedziału, jeśli należą do dziedziny. Znak pochodnej pomaga uzasadnić maksimum lub minimum.
Przykład krok po kroku
Prostokąt ma obwód 20. Jakie boki dają największe pole?
- 2x + 2y = 20, więc y = 10 − x i 0 < x < 10.
- P(x) = x(10 − x); P′(x) = 10 − 2x. P′ = 0 dla x = 5.
- P rośnie do x = 5 i potem maleje. Maksimum to 25, dla kwadratu 5 × 5.
Na co uważać: Pochodna równa zero nie wystarcza do stwierdzenia maksimum. Sprawdź zmianę znaku i warunki zadania.
Poćwicz z narzędziem
Bank zadań ósmoklasisty dotyczy podstawówki. Zadania maturalne z rozwiązaniami znajdziesz w informatorach poniżej.
Materiały do dalszej nauki
Wyjaśnienia i przykłady w tej bazie są autorskie. Oficjalne wymagania, przykłady zadań i zasady oceniania sprawdzisz w informatorach CKE: