Baza wiedzy · Liczby i algebra
Potęgi, pierwiastki i logarytmy
Prawa działań, warunki i zamiana logarytmu na potęgę.
Podstawówka
Potęgi i pierwiastki
Dla niezerowej podstawy a: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ oraz aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ponadto (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Pierwiastek kwadratowy z a ≥ 0 jest nieujemny: √25 = 5.
Przykład krok po kroku
Oblicz √(9 · 16).
- 9 · 16 = 144
- √144 = 12
- Można też: √9 · √16 = 3 · 4 = 12.
Na co uważać: √(a + b) zwykle nie równa się √a + √b. Na przykład √(9 + 16) = 5, a nie 7.
Matura podstawowa
Logarytmy
logₐb = c oznacza aᶜ = b. Warunki: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Dla dodatnich x i y: logₐ(xy) = logₐx + logₐy oraz logₐ(x/y) = logₐx − logₐy.
Przykład krok po kroku
Oblicz log₃81.
- Szukamy wykładnika c, dla którego 3ᶜ = 81.
- 3⁴ = 81
- log₃81 = 4
Na co uważać: Nie rozdzielaj logarytmu sumy: logₐ(x + y) nie jest sumą logarytmów.
Matura rozszerzona
Równania logarytmiczne i dziedzina
Najpierw ustal dodatniość każdego argumentu logarytmu. Dopiero potem korzystaj z jego praw. Rozwiązania równania po przekształceniu sprawdź w początkowej dziedzinie.
Przykład krok po kroku
Rozwiąż log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3.
- Dziedzina: x − 1 > 0 i x + 1 > 0, czyli x > 1.
- log₂(x² − 1) = 3, więc x² − 1 = 8.
- x = −3 lub x = 3; dziedzina pozostawia x = 3.
Na co uważać: Rozwiązanie równania po połączeniu logarytmów może nie należeć do dziedziny wyjściowej.
Poćwicz z narzędziem
Bank zadań ósmoklasisty dotyczy podstawówki. Zadania maturalne z rozwiązaniami znajdziesz w informatorach poniżej.
Materiały do dalszej nauki
Wyjaśnienia i przykłady w tej bazie są autorskie. Oficjalne wymagania, przykłady zadań i zasady oceniania sprawdzisz w informatorach CKE: